[算法] 埃拉托斯特尼筛法

埃拉托斯特尼筛法

Description

给出要筛数值的范围n,找出素数;先用2去筛,即把2留下,把2的倍数剔除掉;再用下一个素数,也就是3筛,把3留下,把3的倍数剔除掉;接下去用下一个素数5筛,把5留下,把5的倍数剔除掉;不断重复下去……。

埃拉托斯特尼筛法

详细列出算法如下:

  • 列出2以后的所有序列:

      2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
  • 标出序列中的第一个质数,也就是2,序列变成:

      2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
  • 将剩下序列中,划摽2的倍数(用红色标出),序列变成:

      2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
  • 如果现在这个序列中最大数小于等于最后一个标出的素数的平方,那么剩下的序列中所有的数都是质数,否则回到第二步。

  • 本例中,因为25大于2的平方,我们返回第二步:

  • 剩下的序列中第一个质数是3,将主序列中3的倍数划出(红色),主序列变成:
      2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
  • 我们得到的质数有:2,3
  • 25仍然大于3的平方,所以我们还要返回第二步:
  • 现在序列中第一个质数是5,同样将序列中5的倍数划出,主序列成了:
      2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
  • 我们得到的质数有:2, 3, 5 。
  • 因为25等于5的平方,结束循环

    结论:去掉红色的数字,2到25之间的质数是:2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23。

Code 001

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#include <iostream>
using namespace std;

//n -- 上边界
void ElatoPrime(int n)
{
int a[n];
for (int i = 0; i < n; ++i)
{
a[i] = 1; //is prime
}

for (int i = 2; i < n; i++)
{
if (a[i]) // if it is prime
{
for (int j = i; i * j < n; j++) //j = i时,第一次循环就相当于时求i^2,判断条件是否成立,后面的i* j就是用来统计i的倍数
{
a[i * j] = 0; //i的倍数不是素数
}
}
}

for (int i = 2; i < n; i++)
{
if (a[i])
{
cout << i << " ";
}
}
}

int main()
{
ElatoPrime(40);
getchar();
return 0;
}

Code 使用bool比int节省空间一些

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#include <iostream>
//#define MAXSIZE 100
using namespace std;

//把不是素数的筛出去
//假定全部都是素数,然后通过素数的倍数筛掉不是素数的内容
void Eratosthenes_Sieve(int MAXSIZE)
{
int count = 0;
bool isnotPrime[MAXSIZE];
//初始化,假定全是素数
for (int i = 2; i < MAXSIZE; i++)
{
isnotPrime[MAXSIZE] = false;
}

//筛掉不是素数的内容
for (int i = 2; i < MAXSIZE; i++)
{
for (int j = i * 2; j < MAXSIZE; j += i)
{
isnotPrime[j] = true;
}
}

//将素数统计出来
for (int i = 2; i < MAXSIZE; i++)
{
if (!isnotPrime[i])
{
cout << i << " ";
count++;
}
}
cout << ":" << count << endl;
}

int main()
{
Eratosthenes_Sieve(100);
system("pause");
return 0;
}